如图所示:一吊灯的下圆环直径为4m,圆心为O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离(即OB)为2m,在圆环上设置三个等分点A1,A2,A3.点C为OB上一点(不-数学

题目简介

如图所示:一吊灯的下圆环直径为4m,圆心为O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离(即OB)为2m,在圆环上设置三个等分点A1,A2,A3.点C为OB上一点(不-数学

题目详情

如图所示:一吊灯的下圆环直径为4m,圆心为O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离(即OB)为2m,在圆环上设置三个等分点A1,A2,A3.点C为OB上一点(不包含端点O、B),同时点C与点A1,A2,A3,B均用细绳相连接,且细绳CA1,CA2,CA3的长度相等,求细绳总长y的最小值,并求出此时BC的长度.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

在RT△COA1中,设∠OA1C=θ,则CA1=class="stub"2
cosθ
,CO=2tanθ,
∵y=3CA1+CB=class="stub"6
cosθ
+2-2tanθ
=
2(3-sinθ)
cosθ
+2(0<θ<class="stub"π
4
)

y=2×
-cos2θ-(3-sinθ)(-sinθ)
cos2θ
=
2(3sinθ-1)
cos2θ

令y′=0,则sinθ=class="stub"1
3

sinθ>class="stub"1
3
时,y′>0;sinθ<class="stub"1
3
时,y′<0,
∵y=sinθ在[0,class="stub"π
4
]
上是增函数,
∴当角θ满足sinθ=class="stub"1
3
时,y最小为4
2
+2
;此时BC=2-
2
2
m.

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