已知二次函数f（x）=ax2+|a-1|x+a．（1）函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）关于x不等式f(x)x≥2在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围；（3）函

题目简介

已知二次函数f（x）=ax²+|a-1|x+a．
（1）函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）关于x不等式

f(x)

≥2在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）函数g（x）=f（x）+

1-(a-1)x2

在（2，3）上是增函数，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：长宁区一模

显然a≠0（1）若a＞0，f（x）的增区间为-

|a-1|

，+∞），而函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，不符合题意；
若a＜0，则f（x）=ax2+（1-a）x+a，其增区间为（-∞，-class="stub"1-a

）．
又f（x）在（-∞，-1）上单调递增，所以有-class="stub"1-a

≥-1，解得a≤class="stub"1

，
故a＜0，所以实数a的取值范围为：a＜0．
（2）

f(x)

≥2即ax+class="stub"a

+|a-1|≥2，令g（x）=ax+class="stub"a

+|a-1|，
则

f(x)

≥2在x∈[1，2]上恒成立，等价于gmin（x）≥2，
g′（x）=a-class="stub"a

a(x+1)(x-1)

，
①当a＞0时，x∈[1，2]，g′（x）≥0，g（x）在[1，2]上递增，
gmin（x）=g（1）=2a+|a-1|≥2，解得a≥1；
②当a＜0时，g′（x）≤0，此时g（x）在[1，2]上递减，
gmin（x）=g（2）=2a+class="stub"a

+|a-1|=class="stub"3

a+1≥2，解得a≥class="stub"2

，（舍）
综上，实数a的取值范围为a≥1．
（3）g（x）=ax2+class="stub"1

+a在（2，3）上是增函数，
设2＜x1＜x2＜3，则g（x1）＜g（x2），
ax12+class="stub"1

+a＜ax22+class="stub"1

+a，a（x1+x2）（x1-x2）＜

x1-x2

x1x2

，
因为2＜x1＜x2＜3，所以a＞class="stub"1

x1x2(x1+x2)

，
而class="stub"1

x1x2(x1+x2)

∈（class="stub"1

，class="stub"1

），
所以a≥class="stub"1

．