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已知m=（cosx，3sinx），n=（cosx，cosx），设f（x）=m•n．（1）求函数f（x）的图象的对称轴及其单调递增区间；（2）当x∈[0，π2]，求函数f（x）的值域及取得最大值时x的值

题目简介

已知m=（cosx，3sinx），n=（cosx，cosx），设f（x）=m•n．（1）求函数f（x）的图象的对称轴及其单调递增区间；（2）当x∈[0，π2]，求函数f（x）的值域及取得最大值时x的值

题目详情

已知
m
=（cosx，
3
sinx），
n
=（cosx，cosx），设f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数f（x）的图象的对称轴及其单调递增区间；
（2）当x∈[0，
π
2
]，求函数f（x）的值域及取得最大值时x的值；
（3）若b、c分别是锐角△ABC的内角B、C的对边，且b•c=
6
-
2
，f（A）=
1
2
，试求△ABC的面积S．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）因为f（x）=
m
•
n
=cosxcosx+
3
cosxsinx=cos2x+
3
sinxcosx
=
cos2x+
3
sin2x-1
2
=sin(2x+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
  
  所以对称轴方程：x=class="stub"π
6
+class="stub"kπ
2
（k∈Z）
   单调递增区间为(-class="stub"π
3
+kπ，class="stub"π
6
+kπ)（k∈Z）
  （2）当x∈[0，class="stub"π
2
]时，2x+class="stub"π
6
∈[class="stub"π
6
，class="stub"7π
6
]，sin（2x+class="stub"π
6
）∈[-class="stub"1
2
，1]，
   sin(2x+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
∈[0，class="stub"3
2
]
所以，当2x+class="stub"π
6
=class="stub"π
2
，即x=class="stub"π
6
，sin(2x+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
有最大值为class="stub"3
2

f（x）的值域为[0，class="stub"3
2
]，x=class="stub"π
6
是取得最大值
  （3）因为f（A）=class="stub"1
2
，所以sin(2A+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
=class="stub"1
2
，所以A=class="stub"5π
12

sinclass="stub"5π
12
=sin（class="stub"π
4
+class="stub"π
6
）=sinclass="stub"π
4
cosclass="stub"π
6
+cosclass="stub"π
4
sinclass="stub"π
6
=
6
+
2
4

s△ABC=class="stub"1
2
b•csinclass="stub"5π
12
=class="stub"1
2
（
6
-
2
）
6
+
2
4
=class="stub"1
2

所以△ABC的面积为class="stub"1
2
．

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