首页 > 设n为正整数，规定：fn(x)=f{f[…f(x)…]}n个f，已知f(x)=2(1-x)x-1，，(0≤x≤1)(1＜x≤2)．（1）解不等式：f（x）≤x；（2）设集合A={0，1，2}，对任意x

设n为正整数，规定：fn(x)=f{f[…f(x)…]}n个f，已知f(x)=2(1-x)x-1，，(0≤x≤1)(1＜x≤2)．（1）解不等式：f（x）≤x；（2）设集合A={0，1，2}，对任意x

题目简介

设n为正整数，规定：fn(x)=f{f[…f(x)…]}n个f，已知f(x)=2(1-x)x-1，，(0≤x≤1)(1＜x≤2)．（1）解不等式：f（x）≤x；（2）设集合A={0，1，2}，对任意x

题目详情

设n为正整数，规定：fn(x)=
f{f[…f(x)…]}
n个f
，已知f(x)=
2(1-x)
x-1
，
，
(0≤x≤1)
(1＜x≤2)
．
（1）解不等式：f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f3（x）=x；
（3）探求f2009(
8
9
)；
（4）若集合B={x|f12（x）=x，x∈[0，2]}，证明：B中至少包含有8个元素．
题型：解答题难度：中档来源：宝山区模拟

答案

（1）①当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x得，x≥class="stub"2
3
．
∴class="stub"2
3
≤x≤1．
②当1＜x≤2时，因x-1≤x恒成立．
∴1＜x≤2．
由①，②得，f（x）≤x的解集为{x|class="stub"2
3
≤x≤2}．
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
∴当x=0时，f3（0）=f（f（f（0）））=f（-f（2））=f（1）=0；
当x=1时，f3（1）=f（f（f（1）））=f（f（0））=f（2）=1；
当x=2时，f3（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．
即对任意x∈A，恒有f3（x）=x．
（3）f1(class="stub"8
9
)=2(1-class="stub"8
9
)=class="stub"2
9
，
f2(class="stub"8
9
)=f(f(class="stub"8
9
))=f(class="stub"2
9
)=class="stub"14
9
，
f3(class="stub"8
9
)=f(f2(class="stub"8
9
))=f(class="stub"14
9
)=class="stub"14
9
-1=class="stub"5
9
，
f4(class="stub"8
9
)=f(f3(class="stub"8
9
))=f(class="stub"5
9
)=2(1-class="stub"5
9
)=class="stub"8
9
，
一般地，f4k+r(class="stub"8
9
)=fr(class="stub"8
9
)（k，r∈N）．
∴f2008(class="stub"8
9
)=f0(class="stub"8
9
)=class="stub"8
9

（4）由（1）知，f（class="stub"2
3
）=class="stub"2
3
，∴fn（class="stub"2
3
）=class="stub"2
3
，则f12（class="stub"2
3
）=class="stub"2
3
，∴class="stub"2
3
∈B．
由（2）知，对x=0、1、2，恒有f3（x）=x，∴f12（x）=x，则0、1、2∈B．
由（3）知，对x=class="stub"8
9
、class="stub"2
9
、class="stub"14
9
、class="stub"5
9
，恒有f12（x）=x，∴class="stub"8
9
、class="stub"2
9
、class="stub"14
9
、class="stub"5
9
∈B．
综上所述class="stub"2
3
、0、1、2、class="stub"8
9
、class="stub"2
9
、class="stub"14
9
、class="stub"5
9
∈B．
∴B中至少含有8个元素．

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