已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a

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已知集合A={a₁，a₂，…，a_k（k≥2）}，其中a_i∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}，其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n，若对于任意的a∈A，总有-aA，则称集合A具有性质P。
（1）检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
（2）对任何具有性质P的集合A，证明： n≤；
（3）判断m和n的大小关系，并证明你的结论。

题型：解答题难度：偏难来源：北京高考真题

答案

解：（1）解：集合{0，1，2，3}不具有性质P
集合{-1，2，3}具有性质P，
其相应的集合S和T是
S={（-1，3），（3，-1）}，
T={（2，-1），（2，3）}。
（2）首先，由A中元素构成的有序数对共有个
因为，
所以；又
因为当时，，
所以当时，
从而，集合T中元素的个数最多为，
即。
（3），证明如下：
（i）对于，根据定义，，且，
从而
如果与是S的不同元素，那么与中至少有一个不成立，
从而与中也至少有一个不成立
故与也是T的不同元素
可见，S中元素的个数不多于中元素的个数，即，
（ii）对于，根据定义，，，且，
从而
如果与是T的不同元素，那么与中至少有一个不成立，
从而与中也不至少有一个不成立，
故与也是S的不同元素
可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即，
由（i）（ii）可知，。

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已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a

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