已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2（Ⅰ）求a3，a5；（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N)，证明：{bn

题目简介

已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2（Ⅰ）求a3，a5；（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn

题目详情

已知数列{a_n}满足a₁＝0，a₂＝2，且对任意m、n∈N^*都有
a_2m_－₁＋a_2n_－₁＝2a_m_＋_n_－₁＋2(m－n)²
（Ⅰ）求a₃，a₅；
（Ⅱ）设b_n＝a_2n_＋₁－a_2n_－₁(n∈N^*)，证明：{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）设c_n＝(a_n+1－a_n)qⁿ^－¹(q≠0，n∈N^*)，求数列{c_n}的前n项和S_n.

题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

6，20，
，Sn＝

解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6
再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………2分
(2)当n∈N*时，由已知(以n＋2代替m)可得
a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8
于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8

即 bn＋1－bn＝8
所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………5分
(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列
则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2
另由已知(令m＝1)可得
an＝

-(n－1)2.
那么an＋1－an＝

－2n＋1

＝

－2n＋1
＝2n
于是cn＝2nqn－1.
当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)
当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1.
两边同乘以q，可得
qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn.
上述两式相减得
(1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn