如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点F，OF=3，CD=8，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于点E，DE与BC交于点N，（1）求AB的长；（2）求证：BN=CN.-九年级数学

题目简介

如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点F，OF=3，CD=8，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于点E，DE与BC交于点N，（1）求AB的长；（2）求证：BN=CN.

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）10 （2）证明CN=

，所以CN=BN

试题分析：（1）AB是⊙O直径，AB⊥CD，CD=8
∴ CF=4
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得
OC2=OF2+CF2
=32+42
=25
∴OC=5
∴AB=2OC=2×5=10
（2）连结AC，BD

∵弦CD垂直于直径AB，
∴BC=BD．
∴∠BCD=∠BDC
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠BDC=∠OAC，
∴∠BCD=∠OCA．
∴△BCD∽△OCA
∴

在△CDN和△CAM中，
∵∠DCN=∠ACM，∠CDN=∠CAM，
∴△CDN∽△CAM
∴

∴

即BN=CN．
点评：本题考查勾股定理，相似三角形，解答本题的关键是掌握勾股定理的内容，熟悉相似三角形的判定方法