已知椭圆的离心率为,短轴一个端到右焦点的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程:(Ⅱ)设直线与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线的距离为,求△AOB面积的最大值.-高三数学

题目简介

已知椭圆的离心率为,短轴一个端到右焦点的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程:(Ⅱ)设直线与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线的距离为,求△AOB面积的最大值.-高三数学

题目详情

已知椭圆的离心率为,短轴一个端到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程:
(Ⅱ)设直线与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线的距离为,求△AOB面积的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ) .
(Ⅱ) 面积取最大值.

试题分析:(Ⅰ)属于椭圆的基本题型.通过建立的方程组,求得椭圆方程为.
(Ⅱ)解答本小题,应注意讨论轴和当轴不垂直的两种情况.在轴不垂直设直线的方程为.利用坐标原点到直线的距离为,建立 的方程.通过将直线方程与椭圆方程联立,应用韦达定理、弦长公式,得到.应用均值定理得到

试题解析:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意,离心率为,短轴一个端到右焦点的距离为.
,∴所求椭圆方程为.
(Ⅱ)设.
①当轴时,.
②当轴不垂直时,设直线的方程为.
∵坐标原点到直线的距离为
代入椭圆方程,整理得


当且仅当时等号成立,
时,
综上所述
∴当最大时,面积取最大值

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