（本小题满分14分）已知函数（I）求函数在上的最小值；（II）对一切恒成立，求实数的取值范围；（III）求证：对一切，都有-高三数学

题目简介

（本小题满分14分）已知函数

（I）求函数

在

上的最小值；
（II）对一切

恒成立，求实数

的取值范围；
（III）求证：对一切

，都有

题型：解答题难度：中档来源：不详

（I）f ′（x）＝lnx＋1，当x∈（0，

），f ′（x）＜0，f （x）单调递减，
当x∈（

，＋∞），f ′（x）＞0，f （x）单调递增． ……2分
①0＜t＜t＋2＜

，t无解；
②0＜t＜

＜t＋2，即0＜t＜

时，f （x）min＝f （

）＝－

；
③

≤t＜t＋2，即t≥

时，f （x）在［t，t＋2］上单调递增，f （x）min＝f （t）＝tlnt；
所以f （x）min＝

． ……5分
（II）2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋

， ……6分
设h （x）＝2lnx＋x＋

（x＞0），则h′（x）＝

，x∈（0，1），h′（x）＜0，h （x）单调递减，
x∈（1，＋∞），h′（x）＞0，h

（x）单调递增，所以h （x）min＝h （1）＝4，
因为对一切x∈（0，＋∞），2f（x）≥g （x）恒成立，
所以a≤h （x）min＝4．……10分
（III）问题等价于证明xlnx＞

－

（x∈（0，＋∞）），
由（I）可知f （x）＝xlnx（x∈（0，＋∞））的最小值是－

，当且仅当x＝

时取到．
设m （x）＝

－

（x∈（0，＋∞）），则m ′（x）＝

，
易得m （x）max＝m （1）＝－

，当且仅当x＝1时取到，
从而对一切x∈（0，＋∞），都有lnx＞

－

． ……14分

略