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某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提前通过．已知6道备选题中考-高二数学

题目简介

某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提前通过．已知6道备选题中考-高二数学

题目详情

某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提前通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是
1
3
，且每题正确完成与否互不影响．求：
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ、η，
则ξ取值分别为1，2，3；η取值分别为0，1，2，3．…（2分）
P(ξ=1)=
C14
C22
C36
=class="stub"1
5
，P(ξ=2)=
C24
C12
C36
=class="stub"3
5
，P(ξ=3)=
C34
C02
C36
=class="stub"1
5
．
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

ξ123
pclass="stub"1
5
class="stub"3
5
class="stub"1
5
…（4分）
Eξ=1×class="stub"1
5
+2×class="stub"3
5
+3×class="stub"1
5
=2，
因为P(η=0)=
C03
(1-class="stub"2
3
)3=class="stub"1
27
，同理：P(η=1)=class="stub"6
27
，P(η=2)=class="stub"12
27
，P(η=3)=class="stub"8
27
．
∴考生乙正确完成题数的概率分布列为：
η0123
pclass="stub"1
27
class="stub"6
27
class="stub"12
27
class="stub"8
27
…（8分）
Eη=0×class="stub"1
27
+1×class="stub"6
27
+2×class="stub"12
27
+3×class="stub"8
27
=2．…（9分）
（2）∵Dξ=(2-1)2×class="stub"1
5
+(2-2)2×class="stub"3
5
+(2-3)2×class="stub"1
5
=class="stub"2
5
，…（10分）
Dη=(2-0)2×class="stub"1
27
+(2-1)2×class="stub"6
27
+(2-2)2×class="stub"12
27
+(2-3)2×class="stub"8
27
=class="stub"2
3
．…（11分）
（或Dη=npq=3×class="stub"2
3
×class="stub"1
3
=class="stub"2
3
）．∴Dξ＜Dη．
∵P(ξ≥2)=class="stub"3
5
+class="stub"1
5
=0.8，P(η≥2)=class="stub"12
27
+class="stub"8
27
≈0.74，
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）．
从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成2题的概率考察，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．…（12分）

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