如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1.(I)证明:EM⊥BF;(II)求平面BEF与平面ABC所

题目简介

如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1.(I)证明:EM⊥BF;(II)求平面BEF与平面ABC所

题目详情

如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC交 AC 于点 M,EA⊥平面ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1.

(I)证明:EM⊥BF;
(II)求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).

试题分析:(Ⅰ)先以点为坐标原点建立空间直角坐标系,并以此确定四点的坐标,通过验证来达到证明的目的;(Ⅱ)求出平面与平面各自的法向量,利用空间向量法求出平面与平面所成锐二面角的余弦值.
试题解析:(1)
如图,以为坐标原点,垂直于所在的直线为轴建立空间直角坐标系.由已知条件得



.  
(2)由(1)知
设平面的法向量为
,得

由已知平面,所以取面的法向量为
设平面与平面所成的锐二面角为

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 

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