首页 > 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M是A1B的中点，点N是B1C的中点，连接MN（Ⅰ）证明：MN//平面ABC；（Ⅱ）若AB=1，AC=AA1=，BC=2，求二面角A—A1C—B的余弦值的大小

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M是A1B的中点，点N是B1C的中点，连接MN（Ⅰ）证明：MN//平面ABC；（Ⅱ）若AB=1，AC=AA1=，BC=2，求二面角A—A1C—B的余弦值的大小

题目简介

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M是A1B的中点，点N是B1C的中点，连接MN（Ⅰ）证明：MN//平面ABC；（Ⅱ）若AB=1，AC=AA1=，BC=2，求二面角A—A1C—B的余弦值的大小

题目详情

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M是A1B的中点，点N是B1C的中点，连接MN

（Ⅰ）证明：MN//平面ABC；
（Ⅱ）若AB=1，AC=AA1=，BC=2，求二面角A—A1C—B的余弦值的大小
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；

试题分析：（Ⅰ）主要利用线线平行可证线面平行；（Ⅱ）通过作平行线转化到三角形内解角；当然也可建系利用空间向量来解；
试题解析：（Ⅰ）证明：连接AB1，
∵四边形A1ABB1是矩形，点M是A1B的中点，
∴点M是AB1的中点；∵点N是B1C的中点，
∴MN//AC，∵MN平面ABC，AC平面ABC，
∴MN//平面ABC        6分
（Ⅱ）解 ：（方法一）如图，作，交于点D，

由条件可知D是中点，连接BD，∵AB=1，AC=AA1=，BC=2，
∴AB2＋AC2= BC2，∴AB⊥AC，
∵AA1⊥AB，AA1∩AC=A，∴AB⊥平面
∴AB⊥A1C, ∴A1C⊥平面ABD，∴∴为二面角A—A1C—B的平面角，在， ， ，
在等腰中，为中点，， ∴中，，
中，，
∴二面角A——B的余弦值是    12分
（方法二） 三棱柱为直三棱柱，
∴，，，
， ∴，∴
如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0), B(0,1,0), C(,0,0), A1(0,0,)，
如图，可取为平面的法向量，
设平面的法向量为，
则,，
则由又
，不妨取m=1，则，
可求得，      12分

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