．（本小题满分12分）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求二面角A—BC—D的余弦值；（3）求点O到平面AC
n·
|n|·
|m|·
题目简介
．（本小题满分12分）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求二面角A—BC—D的余弦值；（3）求点O到平面AC
题目详情
如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A—BC—D的余弦值；
（3）求点O到平面ACD的距离．
答案
∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，又AB=2，AC=
∴AO= CO=
在△AOC中，∵AO2+ CO2= AC2，
∴∠AOC=90o，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD．………………4分
（2）过O作OE⊥BC于E，连接AE，∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影为OE，∴AE⊥BC，
∴∠AEO为二面角A—BC—D的平面角．………………6分
在Rt△AEO中，AO=
tan∠AEO=
∴二面角A—BC—D的余弦值为
（3）设点O到平面ACD的距离为h．
∵VO—ACD= VA—OCD，∴
在△ACD中，AD= CD=2，AC=
S△ACD=
而AO=
∴
∴点O到平面ACD的距离为
解法二：（1）同解法一．……………………………………4分
（2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则
∵AO⊥平面BCD，
∴平面BCD的法向量
设平面ABC的法向量n=（x，y，z），
n·
|n|·
（3）设平面ACD的法向量m=（x，y，z），
|m|·
∵
∴点O到平面ACD的距离为