已知函数f(x)=ax+bx2+1是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(12)=25.①确定函数的解析式;②用单调性的定义,证明f(x)在(0,1)上是增函数.-数学

题目简介

已知函数f(x)=ax+bx2+1是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(12)=25.①确定函数的解析式;②用单调性的定义,证明f(x)在(0,1)上是增函数.-数学

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已知函数f(x)=
ax+b
x2+1
是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(
1
2
)=
2
5

①确定函数的解析式;
②用单调性的定义,证明f(x)在(0,1)上是增函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

①∵函数f(x)=class="stub"ax+b
x2+1
在(-1,1)上是奇函数
∴f(0)=0
∴b=0…(2分)
又∵f(class="stub"1
2
)=class="stub"2
5
,解得a=1…(2分)
f(x)=class="stub"x
x2+1
…(2分)
②关于f(x)=class="stub"x
x2+1
在(0,1)上是增函数的证明如下:
设0<x1<x2<1,则                  …(1分)
f(x1)-f(x2)=
x1
x12+1
-
x2
x22+1
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(x12+1)(x22+1)
…(2分)
∵0<x1<x2<1
∴x1-x2<0,1-x1x2>0,(x12+1)(x22+1)>0
∴f(x1)-f(x2)<0则f(x1)<f(x2)…(2分)
f(x)=class="stub"x
x2+1
在(0,1)上是增函数.…(1分)

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