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> 已知函数f(x)=ax+bx2+1是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(12)=25.①确定函数的解析式;②用单调性的定义,证明f(x)在(0,1)上是增函数.-数学
已知函数f(x)=ax+bx2+1是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(12)=25.①确定函数的解析式;②用单调性的定义,证明f(x)在(0,1)上是增函数.-数学
题目简介
已知函数f(x)=ax+bx2+1是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(12)=25.①确定函数的解析式;②用单调性的定义,证明f(x)在(0,1)上是增函数.-数学
题目详情
已知函数
f(x)=
ax+b
x
2
+1
是定义在(-1,1)上的奇函数,且
f(
1
2
)=
2
5
.
①确定函数的解析式;
②用单调性的定义,证明f(x)在(0,1)上是增函数.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
①∵函数
f(x)=
class="stub"ax+b
x
2
+1
在(-1,1)上是奇函数
∴f(0)=0
∴b=0…(2分)
又∵
f(
class="stub"1
2
)=
class="stub"2
5
,解得a=1…(2分)
∴
f(x)=
class="stub"x
x
2
+1
…(2分)
②关于
f(x)=
class="stub"x
x
2
+1
在(0,1)上是增函数的证明如下:
设0<x1<x2<1,则 …(1分)
f(
x
1
)-f(
x
2
)=
x
1
x
1
2
+1
-
x
2
x
2
2
+1
=
(
x
1
-
x
2
)(1-
x
1
x
2
)
(
x
1
2
+1)(
x
2
2
+1)
…(2分)
∵0<x1<x2<1
∴x1-x2<0,1-x1x2>0,(x12+1)(x22+1)>0
∴f(x1)-f(x2)<0则f(x1)<f(x2)…(2分)
∴
f(x)=
class="stub"x
x
2
+1
在(0,1)上是增函数.…(1分)
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奇函数f(x)满足对任意x∈R都有
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函数为奇函数,则增区间为.-高三
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①确定函数的解析式;
②用单调性的定义,证明f(x)在(0,1)上是增函数.
答案
∴f(0)=0
∴b=0…(2分)
又∵f(
∴f(x)=
②关于f(x)=
设0<x1<x2<1,则 …(1分)
f(x1)-f(x2)=
∵0<x1<x2<1
∴x1-x2<0,1-x1x2>0,(x12+1)(x22+1)>0
∴f(x1)-f(x2)<0则f(x1)<f(x2)…(2分)
∴f(x)=