首页 > 对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．

对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．

题目简介

对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．

题目详情

对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在区间[1，2n）（n∈N*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①f（2-n）与2-n+2（n∈N*）；
②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．
题型：解答题难度：中档来源：黄埔区一模

答案

（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，即f（2x）=f（x）+1恒成立，整理f（2x）-f（x）=1，令x=2k，则f（2k+1）-f（2k）=1，
所以f（2），f（4），f（8），…f（2n）构成公差为1的等差数列，
令x=1得f（2）=f（1）+1=4，所以f（2n）=4+（n-1）×1=n+3
（2）当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，令x=1，则f（1）=k-1=3，解得k=4，即当x∈[1，2）时f（x）=4-|2x-3|，所以f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]，
又（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，即f（2x）=-2f（x）恒成立，当x∈[2k-1，2k）（k∈N*）时，class="stub"x
2k-1
∈[1，2）
f（x）=-2f（class="stub"x
2
）=4f（class="stub"x
4
）=…=（-2）k-1f（class="stub"x
2k-1
），
故当k为奇数时，f（x）在[2k-1，2k）上的取值范围是[3×2k-1，2k+1]
当k为偶数时，f（x）在[2k-1，2k）上的取值范围是[-2k+1，-3×2k-1]
所以当n=1时，f（x）在区间[1，2n）上的最大值为4，最小值为3．
当n为不小于3的奇数时，f（x）在区间[1，2n）上的最大值为2n+1，最小值为-2n
n为不小于2的偶数时，f（x）在区间[1，2n）上的最大值为2n，最小值为-2n+1．
（3）（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，可知f（2x）≥2f（x）-2恒成立．即f（x）≤class="stub"1
2
f（2x）+1恒成立．
令x=class="stub"1
2k
，则得f（class="stub"1
2k
）≤class="stub"1
2
f(class="stub"1
2k-1
)+1
即f(class="stub"1
2k
)-2≤class="stub"1
2
[f(class="stub"1
2k-1
)-2]对一切k∈N*恒成立．
所以f(class="stub"1
2n
)-2≤class="stub"1
2
[f(class="stub"1
2n-1
)-2]≤class="stub"1
4
[f(class="stub"1
2k-2
)-2]≤…≤class="stub"1
2n
[f(1)-2]=class="stub"1
2n
故f（2-n）≤2-n+2（n∈N*）；
若x∈（0，1]），则必存在n∈N*，使得∈（class="stub"1
2n
，class="stub"1
2n-1
]，由f（x）是增函数，故f（x）≤f（class="stub"1
2n-1
）≤class="stub"1
2n-1
+2
又2x+2＞2×class="stub"1
2x
+2=class="stub"1
2x-1
+2，故有f（x）＜2x+2

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