已知正整数a、b、c满足:a<b<c,且ab+bc+ca=abc.求所有符合条件的a、b、c.-数学

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已知正整数a、b、c满足:a<b<c,且ab+bc+ca=abc.求所有符合条件的a、b、c.-数学

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已知正整数a、b、c满足:a<b<c,且ab+bc+ca=abc.求所有符合条件的a、b、c.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

解法一:由1≤a<b<c知abc=ab+bc+ca<3bc,
所以a<3,故a=1或者a=2.
(1)当a=1时,有b+bc+c=bc,
即b+c=0,这与b、c为正整数矛盾.
(2)当a=2时,有2b+bc+2c=2bc,即bc-2b-2c=0,
所以(b-2)(c-2)=4,
又因为2<b<c,故0<b-2<c-2,
于是b-2=1,c-2=4.即b=3,c=6,
所以,符合条件的正整数仅有一组:a=2,b=3,c=6.

解法二:∵ab+bc+ca=abc,
class="stub"1
a
+class="stub"1
b
+class="stub"1
c
=1

∵a<b<c,
class="stub"1
a
>class="stub"1
b
>class="stub"1
c

所以class="stub"1
a
>class="stub"1
3
,1<a<3,a=2

class="stub"1
b
+class="stub"1
c
=class="stub"1
2

所以class="stub"1
b
>class="stub"1
4
,2<b<4,b=3

由上得,c=6,
所以,唯一a=2,b=3,c=6.

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