如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,.(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;(2)求二面角Q—BP—C的余弦值.-高三数学

题目简介

如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,.(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;(2)求二面角Q—BP—C的余弦值.-高三数学

题目详情

如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,

(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角Q—BP—C的余弦值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明过程详见试题解析;(2)二面角Q—BP—C的余弦值为

试题分析:(1)以点为中心建立空间坐标系,要证平面⊥平面,只需证明PQ⊥DQ,PQ⊥DC即可;(2)先求出平面PBC的和平面PBQ的法向量,两个法向量所成的角即为二面角Q—BP—C的平面角,然后求出余弦值即可.
试题解析:(1)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).


所以
即PQ⊥DQ,PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.
又PQ平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.  
(2)依题意有B(1,0,1),

是平面PBC的法向量,则
因此可取
设m是平面PBQ的法向量,则
可取
故二面角Q—BP—C的余弦值为

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