（12分）（2011•重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值．-数学

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（12分）（2011•重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1

（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）

试题分析：法一：几何法，
（Ⅰ）过D作DF⊥AC，垂足为F，由平面ABC⊥平面ACD，由面面垂直的性质，可得DF是四面体ABCD的面ABC上的高；设G为边CD的中点，可得AG⊥CD，计算可得AG与DF的长，进而可得S△ABC，由棱锥体积公式，计算可得答案；
（Ⅱ）过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE，分析可得∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角，计算可得EF的长，由（Ⅰ）中DF的值，结合正切的定义，可得答案．
法二：向量法，
（Ⅰ）首先建立坐标系，根据题意，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB与H，过O作OM⊥AC，交AD与M；易知OH⊥OM，因此可以以O为原点，以射线OH、OC、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系O﹣XYZ，进而可得B、D的坐标；从而可得△ACD边AC的高即棱住的高与底面的面积，计算可得答案；
（Ⅱ）设非零向量

=（l，m，n）是平面ABD的法向量，由（Ⅰ）易得向量

的坐标，同时易得

=（0，0，1）是平面ABC的法向量，由向量的夹角公式可得从而cos＜

，

＞，进而由同角三角函数的基本关系，可得tan＜

，

＞，即可得答案．
解：法一
（Ⅰ）如图：过D作DF⊥AC，垂足为F，由平面ABC⊥平面ACD，
可得DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高；
设G为边CD的中点，由AC=AD，可得AG⊥CD，
则AG=

；
由S△ADC=

AC•DF=

CD•AG可得，DF=

；
在Rt△ABC中，AB=

，
S△ABC=

AB•BC=

；
故四面体的体积V=

×S△ABC×DF=

；
（Ⅱ）如图，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE，
由（Ⅰ）知DF⊥平面ABC，由三垂线定理可得DE⊥AB，故∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角，
在Rt△AFD中，AF=

；
在Rt△ABC中，EF∥BC，从而

，可得EF=

；
在Rt△DEF中，tan∠DEF=

．
则二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为

．
解法二：（Ⅰ）如图（2）
设O是AC的中点，过O作OH⊥AB，交AB与H，过O作OM⊥AC，交AD与M；
由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM，
因此以O为原点，以射线OH、OC、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系O﹣XYZ，
已知AC=2，故A、C的坐标分别为A（0，﹣1，0），C（0，1，0）；
设点B的坐标为（x1，y1，0），由