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> 如图,正方形与梯形所在的平面互相垂直,,∥,,,为的中点.(1)求证:∥平面;(2)求证:平面平面;(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.-高三数学
如图,正方形与梯形所在的平面互相垂直,,∥,,,为的中点.(1)求证:∥平面;(2)求证:平面平面;(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.-高三数学
题目简介
如图,正方形与梯形所在的平面互相垂直,,∥,,,为的中点.(1)求证:∥平面;(2)求证:平面平面;(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.-高三数学
题目详情
如图,正方形
与梯形
所在的平面互相垂直,
,
∥
,
,
,
为
的中点.
(1)求证:
∥平面
;
(2)求证:平面
平面
;
(3)求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)证明过程详见解析;(2)证明过程详见解析;(3)
.
试题分析:本题主要考查中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,作出辅助线MN,N为
中点,在
中,利用中位线得到
,且
,结合已知条件,可证出四边形ABMN为平行四边形,所以
,利用线面平行的判定,得
∥平面
;第二问,利用面面垂直的性质,判断
面
,再利用已知的边长,可证出
,则利用线面垂直的判定得
平面BDE,再利用面面垂直的判定得平面
平面
;第三问,可以利用传统几何法证明二面角的平面角,也可以利用向量法建立空间直角坐标系,求出平面BEC和平面ADEF的法向量,利用夹角公式计算即可.
(1)证明:取
中点
,连结
.
在△
中,
分别为
的中点,所以
∥
,且
.由已知
∥
,
,所以
∥
,且
.所以四边形
为平行四边形,
所以
∥
.
又因为
平面
,且
平面
,
所以
∥平面
. 4分
(2)证明:在正方形
中,
.又因为
平面
平面
,且平面
平面
,
所以
平面
.所以
. 6分
在直角梯形
中,
,
,可得
.
在△
中,
,所以
. 7分
所以
平面
. 8分
又因为
平面
,所以平面
平面
. 9分
(3)(方法一)延长
和
交于
.
在平面
内过
作
于
,连结
.由平面
平面
,
∥
,
,平面
平面
=
,
得
,于是
.
又
,
平面
,所以
,
于是
就是平面
与平面
所成锐二面角的
平面角. 12分
由
,得
.
又
,于是有
.
在
中,
.
所以平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
. 14分
(方法二)由(2)知
平面
,且
.
以
为原点,
所在直线分别为
轴,建立空间直角坐标系.
易得
.平面
的一个法向量为
.设
为平面
的一个法向量,因为
,
所以
,令
,得
.
所以
为平面
的一个法向量. 12分
设平面
与平面
所成锐二面角为
.
则
.所以平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
. 14分
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