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(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.第3小题满分8分.（文）对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原-高三数学

题目简介

(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.第3小题满分8分.（文）对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原-高三数学

题目详情

(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.
（文）对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为,公差为的无穷等差数列的子数列问题，为此，他取了其中第一项，第三项和第五项.
(1) 若成等比数列,求的值；
(2) 在, 的无穷等差数列中，是否存在无穷子数列，使得数列为等比数列？若存在，请给出数列的通项公式并证明；若不存在，说明理由；
(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数，公比为正整数()的无穷等比数  列,总可以找到一个子数列,使得构成等差数列”. 于是，他在数列中任取三项，由与的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论？
题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

（1）d=0（2）存在bn=4n-1为符合条件的一个子数列，因为bn="1+3M" ="1+3" [(M+1)-1]是{an}中的第M+1项（3）通过计算可以得到>，从而原命题为假命题

试题分析：(1)由a32=a1a5，                                               ……2分
即(a1+2d)2=a1(a1+4d)，得d=0.                                            ……4分
(2) an=1+3(n-1)，如bn=4n-1便为符合条件的一个子数列.                      ……7分
因为bn=4n-1=(1+3)n-1=1+3+32+…+3n-1=1+3M,                      ……9分
这里M=+3+…+3n-2为正整数，
所以,bn="1+3M" ="1+3" [(M+1)-1]是{an}中的第M+1项，得证.                   ……11分
(注：bn的通项公式不唯一)
(3) 该命题为假命题.                                                 ……12分
由已知可得,
因此,,又,
故 ,        ……15分
由于是正整数，且，则,
又是满足的正整数，则,
,
所以，> ,从而原命题为假命题.                                ……18分
点评：等差数列和等比数列是高考中常考的两种特殊数列，它们的判定和通项公式、前n项和公式的应用要熟练掌握，灵活应用.

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