如图,点A在y轴上,点B在x轴上,且OA=OB=1,经过原点O的直线l交线段AB于点C,过C作OC的垂线,与直线x=1相交于点P,现将直线l绕O点旋转,使交点C从A向B运动,但P点必须在第一-八年级数

题目简介

如图,点A在y轴上,点B在x轴上,且OA=OB=1,经过原点O的直线l交线段AB于点C,过C作OC的垂线,与直线x=1相交于点P,现将直线l绕O点旋转,使交点C从A向B运动,但P点必须在第一-八年级数

题目详情

如图,点A在y轴上,点B在x轴上,且OA=OB=1,经过原点O的直线l交线段AB于点C,过C作OC的垂线,与直线x=1相交于点P,现将直线l绕O点旋转,使交点C从A向B运动,但P点必须在第一象限内,并记AC的长为t,分析此图后,对下列问题作出探究:
(1)通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系?并证明你得到的结论;
(2)设点P的坐标为(1,b),试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围。
(3)若题中的“P点必须在第一象限内”改为“P点在直线x=1上”,其他条件不变,求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标。 
题型:解答题难度:偏难来源:辽宁省期末题

答案

解:(1)OC=CP
证明:过点C作ED∥OB交直线x=1于点D,交y轴于点E
∴∠OEC=∠EOB=90°,∠OBD=∠BDE=90°
∴四边形OBDE是矩形 ∴OE=BD
∵OA=OB   ∴∠ACE=∠EAC=45° ∴∠BCD=∠CBD=45° ∴CD=DB   ∴OE=CD  
∵OC⊥CP   ∴∠1+∠3=90° ∴∠2+∠3=90° ∴∠1=∠2
∵∠OEC=∠PDC=90° ∴△OCE≌△CPD  ∴OC=CP 
(2)∵AC=t   ∴AE=
∵AO=1   ∴OE=  ∴BD=  ∴b=PB=DB-DP=-DP  
∵DP=EC=  ∴b=        
∵点P在第一象限内  ∴b=(0≤t<
(3)当t=0时,即点C与点A重合时△PBC为等腰三角形 ∴P(1,1)          
当点P在第四象限且CB=BP时,有BD=CD=
∴BP=BC=CD=-t   ∴DP=BD+BP=+-t
由(2)知,DP=CE=   ∴+-t=
∴t=1   ∴CB=AB-AC=-t=-1
∴PB=CB=-1   
∵点P在第四象限 ∴P(1,1-
综上可知:P点坐标为(1,1)或(1,1-

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