首页 > 设数列{an}满足a1=a，an+1=an2+a1，M={a∈R|n∈N*，|an|≤2}．（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a∉M；（2）当a∈（0，14]时，求证：a∈M；（3）当a∈（14，+

设数列{an}满足a1=a，an+1=an2+a1，M={a∈R|n∈N*，|an|≤2}．（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a∉M；（2）当a∈（0，14]时，求证：a∈M；（3）当a∈（14，+

题目简介

设数列{an}满足a1=a，an+1=an2+a1，M={a∈R|n∈N*，|an|≤2}．（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a∉M；（2）当a∈（0，14]时，求证：a∈M；（3）当a∈（14，+

题目详情

设数列{an}满足a1=a，an+1=an2+a1，M={a∈R|n∈N*，|an|≤2}．
（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a∉M；
（2）当a∈（0，
1
4
]时，求证：a∈M；
（3）当a∈（
1
4
，+∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．
题型：解答题难度：中档来源：南通模拟

答案

证明：（1）如果a＜-2，则|a1|=|a|＞2，a∉M．（2分）
（2）当0＜a≤class="stub"1
4
时，|an|≤class="stub"1
2
（∀n≥1）．
事实上，〔i〕当n=1时，|a1|=|a|≤class="stub"1
2
．
设n=k-1时成立（k≥2为某整数），
则〔ii〕对n=k，|ak|≤|ak-1|2+a≤(class="stub"1
2
)2+class="stub"1
4
=class="stub"1
2
．
由归纳假设，对任意n∈N*，|an|≤class="stub"1
2
＜2，所以a∈M．（6分）
（3）当a＞class="stub"1
4
时，a∉M．证明如下：
对于任意n≥1，an＞a＞class="stub"1
4
，且an+1=an2+a．
对于任意n≥1，an+1-an=
a2n
-an+a=(an-class="stub"1
2
)2+a-class="stub"1
4
≥a-class="stub"1
4
，
则an+1-an≥a-class="stub"1
4
．
所以，an+1-a=an+1-a1≥n(a-class="stub"1
4
)．
当n＞class="stub"2-a
a-class="stub"1
4
时，an+1≥n(a-class="stub"1
4
)+a＞2-a+a=2，
即an+1＞2，因此a∉M．（10分）

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