如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K。（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°

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如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K。
（1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK_______MK（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图4，当∠CDF=30° 时，AM+CK___MK（只填“＞”或“＜”）；
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK____MK，证明你所得到的结论；
（3）如果MK²+CK²=AM²，请直接写出∠CDF的度数和的值。

题型：解答题难度：偏难来源：河北省模拟题

答案

解：（1）①在Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴AD=BD=CD=，∠B=∠BDC=60°
又∵∠A=30°，
∴∠ACD=60°﹣30°=30°，
又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°时，
∴∠CKD=90°，
∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），
即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合），
∵CK=0，或AM=0，
∴AM+CK=MK；
②由①，得∠ACD=30°，∠CDB=60°，
又∵∠A=30°，∠CDF=30，∠EDF=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=MD，CK=KD，
∴AM+CK=MD+KD，
∴在△MKD中，AM+CK＞MK（两边之和大于第三边）；
（2）＞
证明：作点C关于FD的对称点G，
连接GK，GM，GD，则CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK，
∵D是AB的中点，
∴AD=CD=GD、
∵∠A=30°，
∴∠CDA=120°，
∵∠EDF=60°，
∴∠GDM+∠GDK=60°，∠ADM+∠CDK=60°．
∴∠ADM=∠GDM，
∵DM=DM，
∴
∴△ADM≌△GDM，（SAS）
∴GM=AM
∵GM+GK＞MK，
∴AM+CK＞MK；
（3）由（2），得GM=AM，GK=CK，
∵MK2+CK2=AM2，
∴MK2+GK2=GM2，
∴∠GKM=90°，
又∵点C关于FD的对称点G，
∴∠CKG=90°，∠FKC=∠CKG=45°，
又有（1），得∠A=∠ACD=30°，
∴∠FKC=∠CDF+∠ACD，
∴∠CDF=∠FKC﹣∠ACD=15°，
在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，
∴∠GMK=30°，
∴=，
∴=。

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如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K。（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°

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