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设m,n是给定的整数,,是一个正2n+1边形,.求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数.-数学
题目简介
设m,n是给定的整数,,是一个正2n+1边形,.求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数.-数学
题目详情
设
m
,
n
是给定的整数,
,
是一个正2
n
+1边形,
.求顶点属于
P
且恰有两个内角是锐角的凸
m
边形的个数.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
见解析
先证一个引理:顶点在
P
中的凸
m
边形至多有两个锐角,且有两个锐角时,这两个锐角必相邻.
事实上,设这个凸
边形为
,只考虑至少有一个锐角的情况,此时不妨设
,
则
,
更有
.
而
+
,故其中至多一个为锐角,这就证明了引理.
由引理知,若凸
边形中恰有两个内角是锐角,则它们对应的顶点相邻.
在凸
边形中,设顶点
与
为两个相邻顶点,且在这两个顶点处的内角均为锐角.设
与
的劣弧上包含了
的
条边(
),这样的
在
固定时恰有
对.
(1)若凸
边形的其余
个顶点全在劣弧
上,而
劣弧上有
个
中的点,此时这
个顶点的取法数为
.
(2)若凸
边形的其余
个顶点全在优弧
上,取
,
的对径点
,
,由于凸
边形在顶点
,
处的内角为锐角,所以,其余的
个顶点全在劣弧
上,而劣弧
上恰有
个
中的点,此时这
个顶点的取法数为
.
所以,满足题设的凸
边形的个数为
.
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事实上,设这个凸
则
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而
由引理知,若凸
在凸
(1)若凸
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所以,满足题设的凸