若函数f(x)对于任意x∈[a,b],恒有|f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-a(x-a)|≤T(T为常数)成立,则称函数f(x)在[a,b]上具有“T级线性逼近”.下列函数中:①f(x)=2

题目简介

若函数f(x)对于任意x∈[a,b],恒有|f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-a(x-a)|≤T(T为常数)成立,则称函数f(x)在[a,b]上具有“T级线性逼近”.下列函数中:①f(x)=2

题目详情

若函数f(x)对于任意x∈[a,b],恒有|f(x)-f(a)-
f(b)-f(a)
b-a
(x-a)|≤T(T为常数)成立,则称函数f(x)在[a,b]上具有“T级线性逼近”.下列函数中:
①f(x)=2x+1;
②f(x)=x2
③f(x)=
1
x

④f(x)=x3
则在区间[1,2]上具有“
1
4
级线性逼近”的函数的个数为(  )
A.1B.2C.3D.4
题型:单选题难度:中档来源:宁德模拟

答案

f(x)=2x+1在区间[1,2]上,由于|f(x)-f(1)-
f(2)-f(1)
2-1
(x-1)|=|0|≤class="stub"1
4
,故f(x)=2x+1在区间[1,2]上具有“class="stub"1
4
级线性逼近”,故满足条件.
f(x)=x2 在区间[1,2]上,由于|f(x)-f(1)-
f(2)-f(1)
2-1
(x-1)|=|(x-1)(x-2)|=-(x-1)(x-2)≤class="stub"1
4

故f(x)=x2在区间[1,2]上具有“class="stub"1
4
级线性逼近”,故满足条件.
f(x)=class="stub"1
x
在区间[1,2]上,由于|f(x)-f(1)-
f(2)-f(1)
2-1
(x-1)|=|class="stub"1
x
+class="stub"x
2
-class="stub"3
2
|=class="stub"3
2
-(class="stub"1
x
+class="stub"x
2
)≤class="stub"3
2
-2
class="stub"1
2
=class="stub"3
2
-
2
class="stub"1
4

故f(x)=2x+1在区间[1,2]上具有“class="stub"1
4
级线性逼近”,故满足条件.
f(x)=x3在区间[1,2]上,由于|f(x)-f(1)-
f(2)-f(1)
2-1
(x-1)|=|x3-7x+6|=|(x-1)(x-3)(x+2)|=-(x-1)(x-3)(x+2),
由于-(x3-7x+6)的导数为-3x2+7,令-3x2+7=0 可得 x=
class="stub"7
3
,在[1,
class="stub"7
3
]上,3x2-7<0,-(x-1)(x-3)(x+2)为增函数,
同理可得在[
class="stub"7
3
,2]上,-(x-1)(x-3)(x+2)为减函数,故-(x-1)(x-3)(x+2)的最大值为 (
class="stub"7
3
-1)(3-
class="stub"7
3
)(
class="stub"7
3
+2)>class="stub"1
4

故不满足“class="stub"1
4
级线性逼近”,故不满足条件.
故选C.

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