在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q是CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P．（1）求证：DQ=CP；（2）OP与OQ有何关系？试证明你的结论．-数学

题目简介

在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q是CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P．
（1）求证：DQ=CP；
（2）OP与OQ有何关系？试证明你的结论． 360优课网

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）证明：∵正方形ABCD中，∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，
又∵DP⊥AQ，
∴∠DAQ+∠ADP=90°，
∴∠DAQ=∠PDC，
∵在△ADQ和△CDP中，

∠DAQ=∠PDC

AD=DC

∠ADQ=∠DCP

，
∴△ADQ≌△CDP（ASA），
∴DQ=CP；

（2）OP=OQ且OP⊥OQ．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ODQ=∠OCP，
∵在△OCP和△ODQ中，

OD=OP

∠ODQ=∠OCP

DQ=CP

∴△OCP≌△ODQ（SAS），
∴OP=OQ，且∠DOQ=∠POC
又∵∠DOC=90°，
∴∠QOP=90°，
则OP⊥OQ．