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（本小题满分12分）四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°AB=2，BC=，SA=SB=（Ⅰ）证明SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角

题目简介

（本小题满分12分）四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°AB=2，BC=，SA=SB=（Ⅰ）证明SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角

题目详情

（本小题满分12分）
四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知
∠ABC = 45°AB=2，BC=，SA=SB =
（Ⅰ）证明SA⊥BC；
（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小.
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）SA⊥BC
（Ⅱ）直线SD与平面SAB所成的角为
解法一：
（I）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.
因为SA=SB，所以AO=BO.


 
   又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，

   由三垂线定理，得SA⊥BC.
（II）由（I）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，
故SA⊥AD，由AD=BC=2，SA=，AO=，得
SO=1，.
△SAB的面积.
连结AB，得△DAB的面积=2.
设D到平面SAB的距离为h，由，得
，
解得.
设SD与平面SAB所成角为α，则sinα=.
所以，直线SD与平面SAB所成的角为
解法二：
（I）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD.
因为SA=SB，所以AO=BO.
又∠ABC=，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB.
如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O—xyz，
A（，0，0），B（0，，0），C（0，－，0），S（0，0，1），
=（，0，－1），=（0，2，0），·=0，
所以SA⊥BC.
（Ⅱ）取AB中点E，E
连结SE，取SE中点G，连结OG，G，

，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直，
所以OG⊥平面SAB. 与的夹角记为α,SD与平面SAB所成的角记为β，则α与β互余.

所以，直线SD与平面SAB所成的角为

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