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（本小题满分14分）已知f(x)=ln(1+x)-x.（Ⅰ）求f(x)的最大值；（Ⅱ）数列{an}满足：an+1=2f'(an)+2,且a1=2.5，=bn,⑴数列{bn+}是等比数列⑵判断

题目简介

（本小题满分14分）已知f(x)=ln(1+x)-x.（Ⅰ）求f(x)的最大值；（Ⅱ）数列{an}满足：an+1=2f'(an)+2,且a1=2.5，=bn,⑴数列{bn+}是等比数列⑵判断

题目详情

（本小题满分14分）已知f(x)=ln(1+x)-x.
（Ⅰ）求f(x)的最大值；
（Ⅱ）数列{an}满足：an+1= 2f' (an) +2,且a1=2.5，= bn,
⑴数列{ bn+}是等比数列    ⑵判断{an}是否为无穷数列。
（Ⅲ）对n∈N*,用⑴结论证明：ln(1++)<;
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）极大值为f(0)=0，也是所求最大值；
（Ⅱ）（1）略
（2）数列{an}为无穷数列，证明略。
（Ⅲ）ln(1++)<，证明略。
⑴x>-1, f'(x)= -1=,
x
(-1,0)
0
(0,+∞)
f'(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
∴极大值为f(0)=0，也是所求最大值；……………………4分
（Ⅱ）an+1=，∴an+1-1=，∴=-1-，……………………5分
则bn+1=-2 bn-1, ∴bn+1+=-2(bn+), b1+="1,"
∴数列{ bn+}是首项为1，公比为-2的等比数列，…………………7分
∴bn+=(-2)n-1, ……………………8分
∴an=+1=+1，……………………9分
明显a1=2.5>-1，n≥2时(-2)n-1-<-2, ∴an>0>-1恒成立，
∴数列{an}为无穷数列。……………………11分
（Ⅲ）由⑴ln(1+x) ≤x，∴ln(1++)< ln(1+)3……………………12分
="3" ln(1+)≤3×=成立。        ………14分

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