首页 > 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=12AB，P是边AC上的一个点，AP=12PD，∠APD=∠ABC，连接DC并延长交边AB的延长线于点E．（1）求证：AD∥BC；（2）设AP=x，BE

已知：如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=12AB，P是边AC上的一个点，AP=12PD，∠APD=∠ABC，连接DC并延长交边AB的延长线于点E．（1）求证：AD∥BC；（2）设AP=x，BE

题目简介

已知：如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=12AB，P是边AC上的一个点，AP=12PD，∠APD=∠ABC，连接DC并延长交边AB的延长线于点E．（1）求证：AD∥BC；（2）设AP=x，BE

题目详情

已知：如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=
1
2
AB，P是边AC上的一个点，AP=
1
2
PD，∠APD=∠ABC，连接DC并延长交边AB的延长线于点E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）设AP=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）连接BP，当△CDP与△CBE相似时，试判断BP与DE的位置关系，并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案


（1）证明：∵BC=class="stub"1
2
AB，AP=class="stub"1
2
PD，∴class="stub"BC
AB
=class="stub"AP
PD
．
（1分）
又∵∠APD=∠ABC，∴△APD∽△ABC．（1分）
∴∠DAP=∠ACB，（1分）
∴AD∥BC．（1分）

（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∴∠DAP=∠DPA，
∴AD=PD．（1分）
∵AP=x，∴AD=2x．（1分）
∵BC=class="stub"1
2
AB，AB=4，∴BC=2．
∵AD∥BC，∴class="stub"BE
AE
=class="stub"BC
AD
，即class="stub"y
y+4
=class="stub"2
2x
．（1分）
整理，得y关于x的函数解析式为y=class="stub"4
x-1
．（1分）
定义域为1＜x≤4．（1分）

（3）平行．（1分）
证明：∵∠CPD=∠CBE，∠PCD＞∠E，
∴当△CDP与△CBE相似时，∠PCD=∠BCE．（1分）
∴class="stub"BE
BC
=class="stub"DP
PC
，即class="stub"y
2
=class="stub"2x
4-x
．（1分）
把y=class="stub"4
x-1
代入，整理得x2=4．
∴x=2，x=-2（舍去）．（1分）
∴y=4，
∴AP=CP，AB=BE，（1分）
∴BP∥CE，即BP∥DE．

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