首页 > 在三角形ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交边AB，AC与M、N两点，设AM=xAB，AN=yAC，(xy≠0)则4x+y的最小值是______．-数学

在三角形ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交边AB，AC与M、N两点，设AM=xAB，AN=yAC，(xy≠0)则4x+y的最小值是______．-数学

题目简介

在三角形ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交边AB，AC与M、N两点，设AM=xAB，AN=yAC，(xy≠0)则4x+y的最小值是______．-数学

题目详情

在三角形ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交边AB，AC与M、N两点，设
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，(xy≠0)则4x+y的最小值是______．
题型：填空题难度：中档来源：江苏二模

答案

由题意可得
AM
=
AE
+ 
EM
=
AD
2
+
EM
=
AB
+
AC
4
+
EM
=x
AB
，∴
EM
=（x-class="stub"1
4
 ）
AB
-
AC
4
．
同理可得 
EN
=（y-class="stub"1
4
）
AC
-
AB
4
．    由于
EM
、
EN
共线，∴
EM
= λ
EN
，且λ＜0．
∴（x-class="stub"1
4
 ）
AB
-
AC
4
=λ[（y-class="stub"1
4
）
AC
-
AB
4
]，∴x-class="stub"1
4
=λ（-class="stub"1
4
），且-class="stub"1
4
=λ（y-class="stub"1
4
），
故 x=class="stub"1-λ
4
，y=class="stub"λ-1
4λ
，
∴4x+y=1-λ+class="stub"λ-1
4λ
=class="stub"5
4
+（-λ）+class="stub"1
-4λ
≥class="stub"5
4
+2
class="stub"1
4
=class="stub"9
4
，当且仅当 λ=-class="stub"1
2
时，等号成立，
故答案为：class="stub"9
4
．

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