小明设计了一个“简易量角器”：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CA＝30cm，在AB边上有一系列点P1，P2，P3…P8，使得∠P1CA＝10°，∠P2CA＝20°，∠P3CA＝30°

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小明设计了一个“简易量角器”：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CA＝30 cm，在AB边上有一系列点P1，P2，P3…P8，使得∠P₁CA＝10°，∠P₂CA＝20°，∠P₃CA＝30°，…∠P₈CA＝80°．

（1）求P₃A的长（结果保留根号）；
（2）求P₅A的长（结果精确到1 cm，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，

≈1.7）；
（3）小明发现P1，P2，P3…P8这些点中，相邻两点距离都不相同，于是计划用含45°的直角三角形重新制作“简易量角器”，结果会怎样呢？请你帮他继续探究．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）10

cm（2）24cm（3）在P1，P2，P3…P8这些点中，有三对相邻点距离相等

试题分析：
解：（1）连接P3C．

∵∠P3CA＝∠A，∴P3C＝P3A．
又∵∠P3CB＝∠BCA－∠P3CA＝60°，且∠B＝∠BCA－∠A＝60°，
∴∠P3CB＝∠B，∴P3C＝P3B，
∴P3A＝P3B＝

AB．
在Rt△ABC中，cos∠A＝

，
∴AB＝

＝20

cm．
∴P3A＝

AB＝10

cm．
（2）连接P5C，作P5D⊥CA，垂足为D．
由题意得，∠P5CA＝50°，设CD＝x cm．
在Rt△P5DC中，tan∠P5CD＝

，∴P5D＝CD·tan∠P5CD＝1.2x．
在Rt△P5DA中，tan∠A＝

，∴DA＝

＝1.2

x．
∵CA＝30 cm，∴CD＋DA＝30 cm．
∴x＋1.2

x＝30．∴x＝

．
在Rt△P5DA中，sin∠A＝

，∴P5A＝

＝2.4x．
∴P5A＝2.4×

≈24 cm．
（3）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°．

当P1，P2，P3…P8在斜边上时．
∵∠B＝90°－∠A＝45°，
∴∠B＝∠A，∴AC＝BC．
在△P1CA和△P8CB中，
∵∠P1CA＝∠P8CB，AC＝BC，∠A＝∠B，
∴△P1CA≌△P8CB．∴P1A＝P8B．
同理可得P2A＝P7B，P3A＝P6B，P4A＝P5B．
则P1P2＝P8P7，P2P3＝P7P6，P3P4＝P6P5．
在P1，P2，P3…P8这些点中，有三对相邻点距离相等．
点评：本题难度较大，主要考查学生结合三角形性质和全等三角形性质等综合探究规律。

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小明设计了一个“简易量角器”：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CA＝30cm，在AB边上有一系列点P1，P2，P3…P8，使得∠P1CA＝10°，∠P2CA＝20°，∠P3CA＝30°

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