已知函数f(x)=x+,g(x)=x+lnx,其中a>0.(Ⅰ)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值;(Ⅱ)若对任意的x1,x2∈[1,e](e为自然对数的底数)都有f(x

题目简介

已知函数f(x)=x+,g(x)=x+lnx,其中a>0.(Ⅰ)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值;(Ⅱ)若对任意的x1,x2∈[1,e](e为自然对数的底数)都有f(x

题目详情

已知函数f(x)=x+,g(x)=x+lnx,其中a>0.
(Ⅰ)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值;
(Ⅱ)若对任意的x1,x2∈[1,e](e为自然对数的底数)都有f(x1)≥g(x2)成立,求实数a的取值范围。
题型:解答题难度:偏难来源:天津模拟题

答案

解:(Ⅰ)因为,其定义域为
所以,
由x=1是函数h(x)的极值点,得,即3-a2=0,
又由a>0,得
经检验,当时,x=1是函数h(x)的极值点,
所以,
(Ⅱ)若对任意的都有成立等价于
对任意的都有
时,,所以函数g(x)在上是增函数,
所以,
又由,且,a>0,
(1)当0<a<1且时,
所以函数f(x)在上是增函数,
所以,
,得
又由0<a<1知a不合题意,舍去;
(2)当时,
,则
,则
所以函数f(x)在上是减函数,在上是增函数,
所以,
,得
,所以,
(3)当a>e且时,
所以函数f(x)在上是减函数,
所以,
,得
,所以
综上所述,a的取值范围是

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