已知函数f(x)=x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10,(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)+mx,若g(x)的极值存在,求实数m的取值范围以

题目简介

已知函数f(x)=x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10,(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)+mx,若g(x)的极值存在,求实数m的取值范围以

题目详情

已知函数f(x)=x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10,
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)+mx,若g(x)的极值存在,求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值。
题型:解答题难度:偏难来源:四川省高考真题

答案

解:(Ⅰ)由已知,切点为(2,0),
故有f(2)=0,即4b+c+3=0,①
f′(x)=3x2+4bx+c,
由已知,得8b+c+7=0,②
联立①、②,解得c=1,b=1,
于是函数解析式为f(x)
(Ⅱ)

令g′(x)=0,当函数有极值时,△≥0,方程有实根,
由△=4(1-m)≥0,得m≤1,
①当m=1时,g′(x)=0有实根,在左右两侧均有g′(x)>0,故函数g(x)=0无极值;
②m<1时,g′(x)=0有两个实根,
当x变化时,g′(x)、g(x)的变化情况如下表:

故在m时,函数g(x)有极值,
时,g(x)有极大值;当时,g(x)有极小值。

更多内容推荐