首页 > 设f（x）为定义在区间I上的函数．若对I上任意两点x1，x2（x1≠x2）和实数λ∈（0，1），总有f（λx1+（1-λ）x2）＜λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f（x）为I上的严格下凸函数．

设f（x）为定义在区间I上的函数．若对I上任意两点x1，x2（x1≠x2）和实数λ∈（0，1），总有f（λx1+（1-λ）x2）＜λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f（x）为I上的严格下凸函数．

题目简介

设f（x）为定义在区间I上的函数．若对I上任意两点x1，x2（x1≠x2）和实数λ∈（0，1），总有f（λx1+（1-λ）x2）＜λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f（x）为I上的严格下凸函数．

题目详情

设f（x）为定义在区间I上的函数．若对I上任意两点x1，x2（x1≠x2）和实数λ∈（0，1），总有f（λx1+（1-λ）x2）＜λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f（x）为I上的严格下凸函数．若f（x）为I上的严格下凸函数，其充要条件为：对任意x∈I有f∥（x）＞0成立（f∥（x）是函数f（x）导函数的导函数），则以下结论正确的有______．
①f（x）=
2x+2014
3x+7
，x∈[0，2014]是严格下凸函数．
②设x1，x2∈（0，
π
2
）且x1≠x2，则有tan(
x1+x2
2
)＞
1
2
(tanx1+tanx2)
③若f（x）是区间I上的严格下凸函数，对任意x0∈I，则都有f（x）＞f′（x0）（x-x0）+f（x0）
④f（x）=
1
6
x3+sinx，（x∈（
π
6
，
π
3
））是严格下凸函数．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

①因为f（x）=class="stub"2x+2014
3x+7
=
class="stub"2
3
(3x+7)+2014-class="stub"14
3
3x+7
=class="stub"2
3
+class="stub"6028
9x+21
，所以f'（x）=-class="stub"6028×9
(9x+21)2
=-class="stub"6028
(3x+7)2
，
所以f∥（x）=class="stub"2×3×6028
(3x+7)3
，当x∈[0，2014]时，f∥（x）＞0恒成立，所以①正确．
②若x1=class="stub"π
3
，x2=class="stub"π
6
，则class="stub"1
2
(tanx1+tanx2)=class="stub"1
2
(tanclass="stub"π
3
+tanclass="stub"π
6
)=class="stub"1
2
(
3
3
+
3
)=
2
3
3
，而class="stub"1
2
(tan⁡
x1+x2
2
=tan⁡
class="stub"π
3
+class="stub"π
6
2
)=tan⁡class="stub"π
4
=1，
所以有tan(
x1+x2
2
)＞class="stub"1
2
(tanx1+tanx2)不成立，所以②错误．
③因为f（x）=x2为严格下凸函数，则f'（x）=2x，f∥（x）=2＞0恒成立，当x0=1时，f′（1）=2，f（1）=1，
此时不等式等价为，f（x）＞2（x-1）+1=2x-1，当x=0时，f（0）=0＞-1不成立，所以③错误．
④若f（x）=class="stub"1
6
x3+sinx，则f'（x）=class="stub"1
2
x2+cosx，f∥（x）=x-sinx，当x∈[class="stub"π
6
，class="stub"π
3
]，设y=x-sinx，则y'=1-cosx≥0，所以函数f∥（x）=x-sinx单调递增，
所以f∥（class="stub"π
6
）=class="stub"π
6
-sinclass="stub"π
6
=class="stub"π
6
-class="stub"1
2
＞0），所以f（x）=class="stub"1
6
x3+sinx，（x∈（class="stub"π
6
，class="stub"π
3
））是严格下凸函数，所以④正确．
故答案为：①④．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网