对于函数f(x)=x1+|x|(x∈R)，下列判断中，正确结论的序号是______（请写出所有正确结论的序号）．①f（-x）+f（x）=0；②当m∈（0，1）时，方程f（x）=m总有实数解；③函数f（

题目简介

对于函数f(x)=

1+|x|

(x∈R)，下列判断中，正确结论的序号是______（请写出所有正确结论的序号）．
①f（-x）+f（x）=0； ②当m∈（0，1）时，方程f（x）=m总有实数解；
③函数f（x）的值域为R； ④函数f（x）的单调减区间为（-∞，+∞）．

题型：填空题难度：偏易来源：不详

①∵f（-x）+f（x）=class="stub"-x

1+|x|

+class="stub"x

1+|x|

=0，（x∈R），∴①正确；
②∵-|x|≤x≤|x|，∴-1＜-

|x|

1+|x|

≤class="stub"x

1+|x|

≤

|x|

1+|x|

＜1，
∴函数f（x）的值域是（-1，1）．
因此当m∈（0，1）时，方程f（x）=m总有实数解，
∴②正确；
③由②判断可知③不正确；
④由①可知：函数f（x）是奇函数．
又∵f（x）=

class="stub"x

1+x

，当x≥0时

class="stub"x

1-x

，当x＜0时

，
当x≥0时，f′(x)=class="stub"1

(1+x)2

＞0，∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增；
由函数f（x）是奇函数，∴函数f（x）在（-∞，0）也单调递增，且在x=0时连续，故函数f（x）在R上单调递增．
因此④不正确．
综上可知：正确答案为①②．
故答案为①②．