如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC平分∠DAB.(1)求证:DC为⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为3,AD="4",求AC的长.-

题目简介

如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC平分∠DAB.(1)求证:DC为⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为3,AD="4",求AC的长.-

题目详情

如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC平分∠DAB.
(1)求证:DC为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,AD="4" ,求AC的长.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明见解析;(2)2

试题分析:(1)连接OC,由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA,然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA,接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD,然后就得到OC⊥CD,由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点;
(2)连接BC,根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°,又∠DAC=∠OAC,由此可以得到△ADC∽△ACB,然后利用相似三角形的性质即可解决问题.
(1)证明:连接OC
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠OAC
∴∠DAC=∠OCA
∴OC∥AD
∵AD⊥CD
∴OC⊥CD
∴直线CD与⊙O相切于点C;
(2)连接BC,则∠ACB=90°.
∵∠DAC=∠OAC,∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,

∴AC2=AD•AB,
∵⊙O的半径为3,AD=4,
∴AB=6,
∴AC=2

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