若f(x)是在(-l,l)内的可导奇函数,且f′(x)不恒为0,则f′(x)()A.必为(-l,l)内的奇函数B.必为(-l,l)内的偶函数C.必为(-l,l)内的非奇非偶函数D.可能为奇函数也可能为

题目简介

若f(x)是在(-l,l)内的可导奇函数,且f′(x)不恒为0,则f′(x)()A.必为(-l,l)内的奇函数B.必为(-l,l)内的偶函数C.必为(-l,l)内的非奇非偶函数D.可能为奇函数也可能为

题目详情

若f(x)是在(-l,l)内的可导奇函数,且f′(x)不恒为0,则f′(x)(  )
A.必为(-l,l)内的奇函数
B.必为(-l,l)内的偶函数
C.必为(-l,l)内的非奇非偶函数
D.可能为奇函数也可能为偶函数
题型:单选题难度:中档来源:不详

答案

证明:对任意 x∈(-1,1),f′(-x)=
lim
△x→0
f(-x+△x)-f(-x)
△x
=
lim
△x→0
f[-(x-△x)]-f(-x)
△x

由于f(x)为奇函数,∴f[-(x-△x)]=-f(x-△x),f(-x)=-f(x),
于是 f′(-x)=f′(-x)=
lim
△x→0
-f(x-△x)+f(x)
△x
=
lim
△x→0
f(x-△x)-f(x)
-△x
=f′(x)

因此f′(-x)=f′(x)即f′(x)是(-1,1)内的偶函数.
故选B.

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