如图所示，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点。（1）求证：EF+GH=5cm；（2）求当∠APD=90°时，的值。

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如图所示，已知矩形ABCD中，AB=4 cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点。
（1）求证：EF+GH=5cm；
（2）求当∠APD=90°时，的值。

题型：解答题难度：中档来源：专项题

答案

证明：（1）∵矩形ABCD中，AD=10cm，
∴BC=AD=10cm
∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点，
∴EF+GH=BP+PC=BC，
∴EF+GH=5cm；
解：（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠C=90°，
又∵∠APD=90°
∴由勾股定理得
AD2=AP2+DP2=AB2+BP2+PC2+DC2=BP2+（BC-BP）2+2AB2=BP2+（10-BP）2+32，
即100=2BP2-20BP+100+32，
解得BP=2或8，
当BP=2时，PC=8，EF=1，GH=4，这时，
当BP=8时，PC=2，EF=4，GH=1，这时=4，
∴的值为或4。

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如图所示，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点。（1）求证：EF+GH=5cm；（2）求当∠APD=90°时，的值。

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