首页 > 已知函数f(x)=sinxx，下列命题正确的是______．（写出所有正确命题的序号）①f（x）是奇函数②对定义域内任意x，f（x）＜1恒成立；③当x=32π时，f（x）取得极小值；④f（2）＞f（3

已知函数f(x)=sinxx，下列命题正确的是______．（写出所有正确命题的序号）①f（x）是奇函数②对定义域内任意x，f（x）＜1恒成立；③当x=32π时，f（x）取得极小值；④f（2）＞f（3

题目简介

已知函数f(x)=sinxx，下列命题正确的是______．（写出所有正确命题的序号）①f（x）是奇函数②对定义域内任意x，f（x）＜1恒成立；③当x=32π时，f（x）取得极小值；④f（2）＞f（3

题目详情

已知函数f(x)=
sinx
x
，下列命题正确的是______．（写出所有正确命题的序号）
①f（x）是奇函数
②对定义域内任意x，f（x）＜1恒成立；
③当x=
3
2
π时，f（x）取得极小值；
④f（2）＞f（3）
⑤当x＞0时，若方程|f（x）|=k有且仅有两个不同的实数解α，β（α＞β）则β•cosα=-α•sinβ
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

①函数的定义域是{x|x≠0，x∈R}，f（-x）=
sin(-x)
-x
=class="stub"sinx
x
=f（x），∴f（x）是偶函数，故①错误；
②∵根据三角函数线的定义知|sinx|≤|x|，∴
|sinx|
|x|
≤1，∵x≠0，∴class="stub"sinx
x
＜1成立，故②正确；
③∵f′（x）=class="stub"xcosx-sinx
x2
，∵f′（class="stub"3π
2
）=class="stub"4
9π2
≠0，∴x=class="stub"3π
2
不是极值点，∴③错误；
④∵class="stub"π
2
＜2＜3＜π，∴sin2＞sin3＞0，∴class="stub"sin2
2
＞class="stub"sin3
3
，∴④正确；
⑤
因为|class="stub"sinx
x
|=k（x＞0）有且仅有两个不同的根α，β，所以，k＞0
因为x＞0时，y=sinx为周期函数，y=x为增函数
所以，f（x）在（0，π）的最大值＞f（x）在（π，2π）的最大值＞f（x）在（2π，3π）的最大值＞…
因为，α＞β
所以，α必为y=f（x）在（π，2π）取最大值时x的值，
π＜x＜2π时，f（x）=|class="stub"sinx
x
|=-class="stub"sinx
x

f'（x）=class="stub"-xcosx+sinx
x2
，令f'（x）=0，
则αcosα-sinα=0，即cosα=class="stub"sinα
α
，
所以，f（α）=-class="stub"sinα
α
=-cosα=k
α，β为方程f（x）=k在（0，π）的根
所以，class="stub"sinβ
β
=k
所以，class="stub"sinβ
β
=-cosα
即：βcosα=-sinβ，故⑤错误
故答案为：②④

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