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已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+23cos2x，x∈R（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又a=2，f(A)=1

题目简介

已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+23cos2x，x∈R（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又a=2，f(A)=1

题目详情

已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2
3
cos2x，x∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其单调递减区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又a=2，f(A)=1+
3
，b c=
5
3
，求△ABC的周长．
题型：解答题难度：中档来源：东城区模拟

答案

（Ⅰ）∵f(x)=(sinx+cosx)2+2
3
cos2x
=sin2x+cos2x+2sinx•cosx+
3
(1+cos2x)（2分）
=1+
3
+(sin2x+
3
cos2x)=1+
3
+2sin(2x+class="stub"π
3
)（4分）
所以函数f（x）的周期为π．（5分）
由2kπ+class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
3
≤2kπ+class="stub"3π
2
，k∈Z
解得  kπ+class="stub"π
12
≤x≤kπ+class="stub"7π
12
，
故函数f（x）的单调减区间是[kπ+class="stub"π
12
，kπ+class="stub"7π
12
](k∈Z)．（7分）
（Ⅱ）∵f(A)=1+
3
=1+
3
+2sin(2A+class="stub"π
3
)，
则sin(2A+class="stub"π
3
)=0，
因为0＜A＜class="stub"π
2
，所以class="stub"π
3
＜2A+class="stub"π
3
＜class="stub"4π
3
，
所以2A+class="stub"π
3
=π．则A=class="stub"π
3
．（10分）
又 a=2，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得4=（b+c）2-2bc-2bccosA，
因为bc=class="stub"5
3
，所以b+c=3，则△ABC的周长等于5．（13分）

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