如图,矩形ABCD中,点P是线段AD上一动点,O为BD的中点,PO的延长线交BC于Q.(1)求证:△POD≌△QOB;(2)若AD=8厘米,AB=6厘米,P从点A出发,以1厘米/秒的速度向D运动(不与

题目简介

如图,矩形ABCD中,点P是线段AD上一动点,O为BD的中点,PO的延长线交BC于Q.(1)求证:△POD≌△QOB;(2)若AD=8厘米,AB=6厘米,P从点A出发,以1厘米/秒的速度向D运动(不与

题目详情

如图,矩形ABCD中,点P是线段AD上一动点,O为BD的中点, PO的延长线交BC于Q.
(1)求证:△ P O D ≌ △Q O B ;
(2)若AD=8厘米,AB=6厘米,P从点A出发,以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为t秒,请用t表示PD的长;并求t为何值时,四边形P B Q D是菱形.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,                         
∴∠PDO=∠QBO,又OB=OD,∠POD=∠QOB,
∴△POD≌△QOB                             
(2)解法一: PD=8-t  
∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,
∵AD=8cm,AB=6cm,∴BD=10cm,∴OD=5cm.               
当四边形PBQD是菱形时, PQ⊥BD,∴∠POD=∠A,又∠ODP=∠ADB,
∴△ODP∽△ADB,                                     
,即,                                    
解得,即运动时间为秒时,四边形PBQD是菱形.               
解法二:PD=8-t     
当四边形PBQD是菱形时,PB=PD=(8-t)cm,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,在RT△ABP中,AB=6cm,
, ∴
解得,即运动时间为秒时,四边形PBQD是菱形.  
(1)本题需先根据四边形ABCD是矩形,得出AD∥BC,∠PDO=∠QBO,再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB.
(2)本题需先根据已知条件得出∠A的度数,再根据AD=8厘米,AB=6厘米,得出BD和OD的长,再根据四边形PBQD是菱形时,证出△ODP∽△ADB,即可求出t的值,判断出四边形PBQD是菱形

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