如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(Ⅰ)求证:PC⊥AB;(Ⅱ)求直线BC与平面APB所成角的正弦值(Ⅲ)求点C到平面APB的距离.-高二数学

题目简介

如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(Ⅰ)求证:PC⊥AB;(Ⅱ)求直线BC与平面APB所成角的正弦值(Ⅲ)求点C到平面APB的距离.-高二数学

题目详情

如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=ABPCAC.

(Ⅰ)求证:PCAB
(Ⅱ)求直线BC与平面APB所成角的正弦值
(Ⅲ)求点C到平面APB的距离.
题型:解答题难度:偏易来源:不详

答案


(I)       取AB中点D,连结PD,CD.
AP=BP
PDAB.          ……………1
AC=BC,
CDAB.           ……………2
PDCD=D,
AB⊥平面PCD.      ……………3
PC∩平面PCD.
PCAB.             ……………4

(Ⅱ)∵AC=BCAPBP
∴△APC≌△BPC.
PCBC.
PCBC.
又∠ACB=90°,即ACBC.
ACPCC,
BC⊥平面PAC.
AP中点E,连结BECE.
ABBP
BEAP.
ECBE在平面PAC内的射影.
CEAP.
∴∠EBC是直线BC与平面APB所成的角                       ……………6
在△BCE中,∠BCE=90°,BC=2,BEAB=
sin∠EBC==                                        ……………8

(Ⅲ)由(Ⅰ)知AB⊥平面PCD,
∴平面APB⊥平面PCD.
CCHPD,垂足为H.
∵平面APB∩平面PCDPD
CH⊥平面APB.
CH的长即为点C到平面APB的距离,                           ……………10
由(Ⅰ)知PCAB,又PCAC,
ABAC=A.
PC⊥平面ABC.
CD平面ABC.
PCCD.
在Rt△PCD中,CD
PC
CH=
∴点C到平面APB的距离为

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