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> 如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(Ⅰ)求证:PC⊥AB;(Ⅱ)求直线BC与平面APB所成角的正弦值(Ⅲ)求点C到平面APB的距离.-高二数学
如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(Ⅰ)求证:PC⊥AB;(Ⅱ)求直线BC与平面APB所成角的正弦值(Ⅲ)求点C到平面APB的距离.-高二数学
题目简介
如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(Ⅰ)求证:PC⊥AB;(Ⅱ)求直线BC与平面APB所成角的正弦值(Ⅲ)求点C到平面APB的距离.-高二数学
题目详情
如图,在三棱锥
P
-
ABC
中,
AC
=
BC
=2,∠
ACB
=90°,
AP
=
BP
=
AB
,
PC
⊥
AC
.
(Ⅰ)求证:
PC
⊥
AB
;
(Ⅱ)求直线BC与平面APB所成角的正弦值
(Ⅲ)求点
C
到平面
APB
的距离.
题型:解答题
难度:偏易
来源:不详
答案
(I) 取
AB
中点
D,
连结
PD,CD.
∵
AP
=
BP
,
∴
PD
⊥
AB.
……………1
∵
AC
=
BC,
∴
CD
⊥
AB
. ……………2
∵
PD
∩
CD
=
D,
∴
AB
⊥平面
PCD.
……………3
∵
PC
∩平面
PCD.
∴
PC
⊥
AB.
……………4
(Ⅱ)∵
AC
=
BC
,
AP
=
BP
,
∴△
APC
≌△
BPC.
又
PC
⊥
BC.
∴
PC
⊥
BC.
又∠
ACB
=90°,即
AC
⊥
BC
.
且
AC
∩
PC
=
C
,
∴
BC
⊥平面
PAC.
取
AP
中点
E
,连结
BE
,
CE
.
∵
AB
=
BP
,
∴
BE
⊥
AP
.
∵
EC
是
BE
在平面
PAC
内的射影.
∴
CE
⊥
AP
.
∴∠
EBC
是直线BC与平面APB所成的角 ……………6
在△
BCE
中,∠
BCE
=90°,
BC
=2,
BE
=
AB=
,
sin∠
EBC=
=
……………8
(Ⅲ)由(Ⅰ)知
AB
⊥平面
PCD,
∴平面
APB
⊥平面
PCD
.
过
C
作
CH
⊥
PD
,垂足为
H
.
∵平面
APB
∩平面
PCD
=
PD
,
∴
CH
⊥平面
APB
.
∴
CH
的长即为点
C
到平面
APB
的距离, ……………10
由(Ⅰ)知
PC
⊥
AB
,又
PC
⊥
AC,
且
AB
∩
AC=A.
∴
PC
⊥平面
ABC.
CD
平面
ABC
.
∴
PC
⊥
CD.
在Rt△
PCD
中,
CD
=
∴
PC
=
∴
CH
=
∴点
C
到平面
APB
的距离为
略
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如图,已知平行六面体。(I)若为的
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已知点P为三棱锥O-ABC的底面AB
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题目简介
如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(Ⅰ)求证:PC⊥AB;(Ⅱ)求直线BC与平面APB所成角的正弦值(Ⅲ)求点C到平面APB的距离.-高二数学
题目详情
(Ⅰ)求证:PC⊥AB;
(Ⅱ)求直线BC与平面APB所成角的正弦值
(Ⅲ)求点C到平面APB的距离.
答案
(I) 取AB中点D,连结PD,CD.
∵AP=BP,
∴PD⊥AB. ……………1
∵AC=BC,
∴CD⊥AB. ……………2
∵PD∩CD=D,
∴AB⊥平面PCD. ……………3
∵PC∩平面PCD.
∴PC⊥AB. ……………4
(Ⅱ)∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥BC.
∴PC⊥BC.
又∠ACB=90°,即AC⊥BC.
且AC∩PC=C,
∴BC⊥平面PAC.
取AP中点E,连结BE,CE.
∵AB=BP,
∴BE⊥AP.
∵EC是BE在平面PAC内的射影.
∴CE⊥AP.
∴∠EBC是直线BC与平面APB所成的角 ……………6
在△BCE中,∠BCE=90°,BC=2,BE=
sin∠EBC=
(Ⅲ)由(Ⅰ)知AB⊥平面PCD,
∴平面APB⊥平面PCD.
过C作CH⊥PD,垂足为H.
∵平面APB∩平面PCD=PD,
∴CH⊥平面APB.
∴CH的长即为点C到平面APB的距离, ……………10
由(Ⅰ)知PC⊥AB,又PC⊥AC,
且AB∩AC=A.
∴PC⊥平面ABC.
CD
∴PC⊥CD.
在Rt△PCD中,CD=
∴PC=
∴CH=
∴点C到平面APB的距离为