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已知数列{an}的前n项和Sn=-an-（12）n-1+2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令cn=n+1nan，Tn为数列{cn}的前n项和，试比较Tn与5n2n+1的大小．-数学

题目简介

已知数列{an}的前n项和Sn=-an-（12）n-1+2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令cn=n+1nan，Tn为数列{cn}的前n项和，试比较Tn与5n2n+1的大小．-数学

题目详情

已知数列{an}的前n项和Sn=-an-（
1
2
）n-1+2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令cn=
n+1
n
an，Tn为数列{cn}的前n项和，试比较Tn与
5n
2n+1
的大小．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题意知a1=-a1-1+2，∴a1=class="stub"1
2
．
当n≥2时，Sn-1=-an-1-(class="stub"1
2
)n-2+2，
∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(class="stub"1
2
)n-1．
∴2an=an-1+(class="stub"1
2
)n-1，即2n•an=2n-1an-1+1，
设bn=2nan，则bn-bn-1=1，
∵b1=2a1=1，∴bn=1+（n-1）=n=2nan，
∴an=class="stub"n
2n
．
（2）由（1）得cn=class="stub"n+1
n
an=(n+1)(class="stub"1
2
)n，
∴Tn=2×class="stub"1
2
+3× (class="stub"1
2
)2 +4×(class="stub"1
2
)3+…+(n+1)×(class="stub"1
2
)n，①
class="stub"1
2
Tn=2×(class="stub"1
2
)2+3×(class="stub"1
2
)3+4×(class="stub"1
2
)4+…+n(class="stub"1
2
)n+(n+1)(class="stub"1
2
)n+1②
①-②得class="stub"1
2
Tn=1+ (class="stub"1
2
)2 +(class="stub"1
2
)3+…+(class="stub"1
2
)n-(n+1)(class="stub"1
2
)n+1
=1+
class="stub"1
4
[1-(class="stub"1
2
)n-1]
1-class="stub"1
2
-(n+1)(class="stub"1
2
)n+1
=class="stub"3
2
-class="stub"n+3
2n+1
，
∴Tn=3-class="stub"n+3
2n
．
Tn-class="stub"5n
2n+1
=
(n+3)(2n-2n-1)
2n(2n+1)
．
于是确定Tn与class="stub"5n
2n+1
的大小等价于比较2n与2n+1的大小，
由2＜2×1+1，22＜2×2+1，23＞2×3+1，24＞2×4+1，
可猜想当n≥3时，2n＞2n+1，证明如下．
（1）当n=3时，23＞2×3+1，猜想成立．
（2）假设当n=k时，猜想成立，即2k＞2k+1．
当 n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）-1．
所以，当n=k+1时，猜想也成立．
综合（1）（2）可知，对一切n≥3的正整数，都有2n＞2n+1．
∴当n=1，2时，Tn＜class="stub"5n
2n+1
．当n≥3时，Tn≥class="stub"5n
2n+1
．

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