已知函数，对定义域内任意，满足，则正整数的取值个数是-高三数学

题目简介

已知函数

，对定义域内任意

，满足

，则正整数

的取值个数是

题型：填空题难度：偏易来源：不详

分析：由条件对定义域内任意x1，x2，满足|f（x1）-f（x2）|＜1，问题可以转化为f（x）max-f（x）min＜1，因此求函数的最值是关键．求最值时，利用换元法求解。
解答：
由题意，

cosα，

sinα(α∈[0，π/2]，
f(x)=

cosα+

sinα=

sin(α +π/4)，
从而有f(x)max=

，f(x)min=

，
∴

＜1解得a＜3+2

，
∵a∈N*，
∴a=1，2，3，4，5，
∴正整数

的取值个数是5个。
点评：解答时等价转化是解题的关键，求解函数的最值运用三角换元法，应注意参数角的范围。