已知f(1+x1-x)=2(1+x21-x2),(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间[12,3]上的值域.-高一数学

题目简介

已知f(1+x1-x)=2(1+x21-x2),(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间[12,3]上的值域.-高一数学

题目详情

已知f(
1+x
1-x
)=2(
1+x2
1-x2
),
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[
1
2
,3]上的值域.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)令t=class="stub"1+x
1-x
(t≠-1),则x=class="stub"t-1
t+1

1+x2
1-x2
=
1+(class="stub"t-1
t+1
)2
1-(class="stub"t-1
t+1
)2
=
t2+1
2t
=class="stub"1
2
(t+class="stub"1
t
)

f(t)=2×class="stub"1
2
(t+class="stub"1
t
)
=t+class="stub"1
t
(t≠-1).
即f(x)=x+class="stub"1
x
(x≠-1)

(2)∵f(x)=1-class="stub"1
x2
=
x2-1
x2
(x≠-1).令f′(x)=0,解得x=1.
在区间[class="stub"1
2
,1)
上f′(x)<0,函数f(x)单调递减;在区间(1,3]上f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
f(x)min=f(1)=2,
f(class="stub"1
2
)
=class="stub"5
2
,f(3)=class="stub"10
3
,∴f(x)max=f(3)=class="stub"10
3

∴函数f(x)的值域[2,class="stub"10
3
]

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