首页 > 如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，.（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值．-九年级数学

如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，.（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值．-九年级数学

题目简介

如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，.（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值．-九年级数学

题目详情

如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，

.

（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求cos∠BCA的值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解：（1）证明：连接OB、OP
∵

且∠D=∠D
∴ △BDC∽△PDO
∴ ∠DBC=∠DPO ∴ BC∥OP
∴ ∠BCO=∠POA  ∠CBO=∠BOP
∵ OB=OC  ∴ ∠OCB=∠CBO  ∴ ∠BOP=∠POA
又∵ OB=OA OP=OP    ∴ △BOP≌△AOP  ∴ ∠PBO=∠PAO
又∵ PA⊥AC   ∴ ∠PBO=90° ∴ 直线PB是⊙O的切线
（2）由（1）知∠BCO=∠POA   设PB

，则

又∵

∴

又∵ BC∥OP ∴

∴

∴

∴

∴ cos∠BCA=cos∠POA=

（1）连接OB、OP，由

且∠D=∠D，根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO=∠PAO=90°；
（2）设PB=a，则BD=2a，根据切线长定理得到PA=PB=a，根据勾股定理得到

，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到

，则

，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．

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