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宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）（1）如图1，分别以线段O1O2的两个端点为圆心，以这条线段的长-数学

题目简介

宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）（1）如图1，分别以线段O1O2的两个端点为圆心，以这条线段的长-数学

题目详情

宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）
（1）如图1，分别以线段O1O2的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积；
（2）如图2，分别以等边△O1O2O3的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？
（3）如图3，分别以正方形O1O2O3O4的四个顶点为圆心，以其边长为半径，作出四个相同的圆，这时，这四个圆相交部分的面积又是多少呢？
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设两圆交于A，B两点，连接O1A，O2A，O1B，O2B．
则S阴=S菱形+4S弓．
∵S菱形=2S△AO1O2，△O1O2A为正三角形，其边长为r．
∴S△AO1O2=
3
r2
4
，S弓=
60πr2
360
-
3
r2
4
=
πr2
6
-
3
r2
4
．
∴S阴=2×
3
r2
4
+4（
πr2
6
-
3
r2
4
）=class="stub"2
3
πr2-
3
2
r2．


（2）图2阴影部分的面积为：
S阴=S△O1O2O3+3S弓
∵△O1O2O3为正三角形，边长为r，
∴S△O1O2O3=
3
r2
4
．
∴S弓=
60πr2
360
-
3
r2
4
．
S阴=
3
r2
4
+3（
60πr2
360
-
3
r2
4
）=
πr2
2
-
3
r2
2
．

（3）延长O2O1与⊙O1交于点A，⊙O1与⊙O4交于点B．
由（1）知，SO1BO4=class="stub"1
2
（class="stub"2
3
πr2-
3
r2
2
）．
∵SO1AB=S扇形AO1O4-SO1BO4=
90πr2
360
-class="stub"1
2
（class="stub"2
3
πr2-
3
r2
2
）=
πr2
4
-class="stub"1
3
πr2+
3
r2
4
，
则S正方形O1O2O3O4-4SO1AB=r2-4（
πr2
4
-class="stub"1
3
πr2+
3
r2
4
）=（class="stub"1
3
π+1-
3
）r2．

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