已知正三角形的边长为a,那么它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积S=______.-数学

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已知正三角形的边长为a,那么它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积S=______.-数学

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已知正三角形的边长为a,那么它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积S=______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

如图所示,BC=a,
连接OB、OC,过O作OD⊥BC;
∵△ABC是正三角形,
∴∠BOC=
360°
3
=120°,
∵OB=OC,OD⊥BC,
∴∠BOD=class="stub"1
2
∠BOC=class="stub"1
2
×120°=60°,BD=CD=class="stub"1
2
BC=class="stub"a
2

∴OB=class="stub"BD
sin∠BOD
=
class="stub"a
2
3
2
=
3
a
3

∵∠BOD=60°,
∴∠DOB=90°-60°=30°,
∴OD=class="stub"1
2
×
3
a
3
=
3
a
6

∴S大圆=π(OB)2=π(
3
a
3
)2=
πa2
3

S小圆=π(OD)2=π(
3
a
6
)2=
πa2
12

∴S圆环=S大圆-S小圆=
πa2
3
-
πa2
12
=
πa2
4

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