(1)已知x>0,y>0,且1x+9y=2,求x+y的最小值.(2)已知x,y∈R+,且满足x3+y4=1,求xy的最大值.(3)若对任意x<1,x2+3x-1≤a恒成立,求a的取值范围.-高一数学

题目简介

(1)已知x>0,y>0,且1x+9y=2,求x+y的最小值.(2)已知x,y∈R+,且满足x3+y4=1,求xy的最大值.(3)若对任意x<1,x2+3x-1≤a恒成立,求a的取值范围.-高一数学

题目详情

(1)已知x>0,y>0,且
1
x
+
9
y
=2,求x+y的最小值.
(2)已知x,y∈R+,且满足
x
3
+
y
4
=1,求xy的最大值.
(3)若对任意x<1,
x2+3
x-1
≤a
恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题意得:x+y=class="stub"1
2
(x+y)(class="stub"1
x
+class="stub"9
y
)=5+class="stub"1
2
class="stub"y
x
+class="stub"9x
y

class="stub"y
x
+class="stub"9x
y
≥2
class="stub"y
x
•class="stub"9x
y
=6------------------(3分)
∴x+y=5+class="stub"1
2
class="stub"y
x
+class="stub"9x
y
)≥5+class="stub"1
2
×6
=8,当且仅当x=2,y=6时等号成立
即x+y的最小值是8--------------------------(4分)
(2)因为x、y为正数,所以1=class="stub"x
3
+class="stub"y
4
≥2
class="stub"x
3
•class="stub"y
4
=2
class="stub"xy
12

所以
class="stub"xy
12
class="stub"1
2
,平方得xy≤3-------------------------------(7分)
∴当且仅当x=class="stub"3
2
,y=2时,xy的最大值为3-------------------------(8分)
(3)不等式
x2+3
x-1
≤a
,即
x2+3
-x+1
≥-a

整理,得(1-x)+class="stub"4
1-x
≥2-a
∵x<1,得1-x>0为正数
∴(1-x)+class="stub"4
1-x
≥2
(1-x)•class="stub"4
1-x
=4
即当且仅当1-x=2,即x=-1时,(1-x)+class="stub"4
1-x
的最小值为4
因此若对任意x<1,
x2+3
x-1
≤a
恒成立,即4≥2-a,解之得a≥-2
所以a的取值范围为[-2,+∞)-----------------------------(12分)

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