首页 > 已知在△ABC中，∠ACB=90°，（1）若BC=3，AC=4，P是AB上的点，求点P到AC，BC的距离乘积的最大值；（2）若△ABC的面积是4，求内切圆半径的范围．-高二数学

已知在△ABC中，∠ACB=90°，（1）若BC=3，AC=4，P是AB上的点，求点P到AC，BC的距离乘积的最大值；（2）若△ABC的面积是4，求内切圆半径的范围．-高二数学

题目简介

已知在△ABC中，∠ACB=90°，（1）若BC=3，AC=4，P是AB上的点，求点P到AC，BC的距离乘积的最大值；（2）若△ABC的面积是4，求内切圆半径的范围．-高二数学

题目详情

已知在△ABC中，∠ACB=90°，
（1）若BC=3，AC=4，P是AB上的点，求点P到AC，BC的距离乘积的最大值；
（2）若△ABC的面积是4，求内切圆半径的范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设P到AC，BC的距离分别为m，n，则P的坐标为（n，m），
∵BC=3，AC=4，
则A（4，0），B（0，3），
故由直线的截距式方程可得，直线AB的方程为class="stub"x
4
+class="stub"y
3
=1，
∵P是AB上的点，则class="stub"m
4
+class="stub"n
3
=1，
∴class="stub"m
4
+class="stub"n
3
=1≥2
class="stub"mn
12
，
∴mn≤3，
∴点P到AC，BC的距离乘积的最大值3；
（2）设BC=a，CA=b，内切圆的半径为r，
∵△ABC的面积是4，则class="stub"1
2
ab=4，
∴ab=8，
∴△ABC的周长为BC+CA+AB=a+b+
a2+b2
≥2
ab
+
2ab
=4
2
+4，
由三角形的“等面积法”可得，class="stub"1
2
（a+b+c）r=4，
∴r=class="stub"8
a+b+
a2+b2
≤class="stub"8
4+4
2
=2
2
-2，
故内切圆半径的取值范围为（0，2
2
-2]．

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